УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

из пространства Е, а также последовательности и ряды элементов (элементы принадлежат пространству Е) с опре­ деленными свойствами. Рассмотрение таких обобщенных абстрактных пространств будет иметь значение хотя бы потому, что все они являются более широкими, чем ранее рассмотренные. Например, пространство С есть часть про­ странства С(с)*, так как элементы С будут те абстрактные функции С с), которые имеют одно и то же постоянное значение, равное рассматриваемому элементу из С. Мы видим, что единичные сферы вышеприведенных банахов- ских пространств более узкие, чем у обобщенных. Ниже переходим к рассмотрению отдельных пространств этого типа. Совокупность всех функций Ut, определенных в сегменте [0,1] со значениями в некотором \Е,Е ]и непрерывных в смысле равномерной сходимости [Е\, образует линейное и нормированное пространство. За норму в нем принимаем max \Ut\. 0 ч< t х< 1. Очевидно, что эта норма всем требуемым от нее аксиомам- удовлетворяет. Это пространство будем обозначать через С(е.Е') и называть пространством равномернонепрерывных [Е'\ абстрактных функций со значениями в [Е,Е\. Совокупность всех функций Ut, определенных в сег­ менте [0,1] со значениями в некотором [Е,Е] и непрерыв­ ных в сегменте [0,1] в смысле сходимости [Е] образует линейное и нормированное пространство. За норму в нем принимаем bornsup\U , . Очевидно, что о ч< t < 1 все аксиомы нормы тут выполнены. Это пространство будем обозначать через С( е , е /)' и называть пространством непрерывных [£'] абстрактных функций со значениями из [ЕЕ1]. Аналогично совокупность всех функций Ut, определен­ ных в сегменте [0,1] со значениями в [Е,Е'\ и непрерывных в смысле сходимости [/?] образует линейное и нормирован­ ное пространство. За норму в нем принимаем bornsup\Ut\. Оч<и I Это пространство будем обозначать через С\ е , е <\ и называть- пространством непрерывных [/?] абстрактных функций со значениями из [Е,Е]. Очевидно, если значения функций Ut равномерно непрерывных [Е'\, непрерывных [Z?1] и [/?] при­ надлежат одному и тому же пространству [£,£'], то про* Обозначение см, на стр. 150. 148