УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

Те ор ема 1. Если U(x,p) линейный оператор, зависящий «от параметра и непрерывный [/?] по параметру, то сущест­ вует постоянная L такая, что имеет место соотношение \U(x,p)\ < L\x\ для любого значения параметра р из про­ межутка и каждого хеЕ. До к а з а т е л ь с т в о . В самом деле, пусть р{) некоторое значение р. Тогда его можем окружить окрестностью для значений, из которой нормы значений оператора по пара­ метру ограничены соответствующей константой, т. к. если бы с этим свойством окрестность около р 0 не существо­ вала бы, то это привело бы к противоречию с непрерыв­ ностью оператора в смысле [/?] по параметру. Ввиду сказанного, можем считать, что около каждого значения р существует окрестность, что для р из этих окрестностей нормы значений оператора по параметру ограничены. Из этого покрытия интервала изменения р можно выделить но теореме Борель—Лебега конечное число окрестностей с тем же свойством и которые покрывают весь интервал изменения р • L, содержащиеся в условиях теоремы, будет наибольшим числом из тех, которые соответствуют конеч­ ному покрытию интервала изменения р. Оп р е д е л е н и е 1. Пусть будет U(x,p) линейный опе­ ратор, зависящий от параметра. Нормой этого оператора называем число bornsup \U\x,p)\ M« i | , Обозначать норму U(x,p) будем через \Up\. Из теоремы 1 этого параграфа следует, что линейные операторы, завися щие от параметра и непрерывные относительно его [Е"\, [£'], а также равномерно-непрерывные по параметру [/?J, {£'], [Е'] будут иметь конечную норму. Следовательно, для перечисленных'классов линейных операторов, завися­ щих от параметра, имеет место соотношение: \U(x,p)\ 4 <Up\\x\. § 5. Обобщение понятий отдельных пространств типа (В) Ниже дадим обобщение понятий следующих пространств типа (В): С, с, lp, М, т, Е, используя ранее проведенную нами классификацию сходимостей элементов и линейных операторов и понятия измеримой по Лебегу абстрактной функции. Будем рассматривать в качестве элементов новых пространств функции того или иного класса со значениями 10* 147