УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

дящихся последовательностей, принадлежащих К, принад­ лежат к К. Будем называть этот класс операций операциями, измеримыми (В) в смысле [£"']. Если E' —R, то получим класс операций, измеримых (В) в смысле [£]; если же Е ' = Е , то будем иметь класс операций, измеримых в смысле [Е’]. § 4. Операторы, зависящие от параметра Пусть дан линейный оператор, область и контробласть которого будут пространства Е и Е'. Если этот оператор зависит от действительной изменяющейся величины р таким образом, что при каждом значении этой величины мы имеем линейный оператор, определенный в £ с контр- областыо в Е', то скажем, что оператор зависит от пара­ метра р. Его будем обозначать U(x, р) или же UP(х). При р фиксированном и переменном х этот оператор линеен, а при л; фиксированном и р переменном мы получим абст­ рактную функцию U (хп,р) или же Up (л0). При одновременно переменных х и р мы будем говорить, что данный оператор определяет собой семейство линейных операторов или же абстрактную функцию со значениями из [Е,Е]. Если E' = R, то получим функционал, зависящий от параметра, или же абстрактную функцию, со значениями из пространства [£,£]. Скажем, что линейный оператор по параметру непре­ рывен [£"], если из рп->р следует lim\v[Up„(x)] — v[Up(x)]\ —О СО для каждого хеЕ и любого ve [£',£"], где предел берется в смысле нормы пространства Е'. Если Ел—Е, то получим оператор, непрерывный по параметру [£]; если же Е'[= R, то будем иметь оператор, зависящий от параметра и непрерыв­ ный [/?]. Очевидно для любого [£''] непрерывность оператора по параметру [£'] вытекает из непрерывности [£'] и влечет его непрерывность [/?]. Линейный оператор по параметру равномерно непре­ рывен [Е"\, если из Рп-*Р следует равномерная сходи­ мость^"] последовательности{£/?„(л:)}к Up{x). Если Е"—Е\ то получим равномерную непрерывность [£'] по параметру. Отсюда видно для любого Е' равномерная непрерывность оператора по параметру [£"] вытекает из равномерной непрерывности [ Е'\ и влечет его равномерную непре­ рывность [£]. 146