УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

пространства Е. Если Е' —Ь , то имеем непрерывность {Е), что означает по норме; если же Е —R, то получаем непрерыв- ность (/?), т. е. слабую. Очевидно, для любого Е непрерыв­ ность (Е1) вытекает из непрерывности ( Е) и влечет за собою непрерывность (R). Легко построить примеры абст­ рактных функций х, непрерывных (£'), но не непрерывных (Е) и непрерывных (R), но не непрерывных (Е). Классом измеренных (Л) в смысле (Е) функций называем наименьшую совокупность функций, которая содержит в себе все непрерывные (£') функций и одновременно- с каждой (£') сходящейся последовательностью функций непрерывных ( Е')} ее предел. Если Е —Е, то полученная1 измеримость (В) в смысле (£) будет измеримостью по норме; если же Е — R, то измеримость (В) в смысле (R) будет соответствовать слабой измеримости. З амеч ание . Очевидно для любого Е измеримость (Д) функции в смысле (Е) вытекает из измеримости (В) в смысле ( Е ) и влечет за собою измеримость (В) в смысле (R). Легко построить пример того, что обратные этим утверж­ дения неверны. Аналогичные понятия можно сформулировать и для абстрактных функций с значениями из [£,£']. Функция xt называется (£') измеримой по Лебегу, если имеется последовательность ( Е ) непрерывных функций для почти всех tKx t, сходящаяся в смысле (Е). Если Е' —Е ,то полученная измеримость по Лебегу в- смысле ( Е ) будет измеримостью по норме; если же Е — R „ то имеем слабую измеримость по Лебегу. Легко видеть, что сделанное выше замечание относи­ тельно измеримости (В) может быть повторено и для измеримости по Лебегу. Очевидно, что если функция Ut непрерывна [R] и множество ее значений компактно [. Е'\, то Ut непрерывна [£']. Функциях, будет функцией первого класса по Беру в отношении сходимости (Е), если она (Е') предел для каждого t последовательности ( Е') непрерывных функций. Если Е1= Е, то функция будет первого класса по Беру в отношении сходимости по норме, если же Е — R, то она первого класса по Беру в отношении слабой; сходимости. Пусть будет В наименьший класс операций (которые для области и контробласти имеют пространства (Е и Е')> удовлетворяющие условиям: 1) Всякая операция непрерыв­ ная [. Е"} принадлежит к К. 2) Все [£ ] пределы [£nJ схо­ Ю Ученые записки. V 145