УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

этого параграфа. Разница только состоит в том, что при доказательстве достаточности формулированных условии нужно использовать теорему 6 этого параграфа. Если в теореме 7 положим Е"—Е', то получим необходимые и достаточные условия равномерной сходимости [£']; если же положим Еи= R, то будем иметь эти условия для рав­ номерной сходимости [/?] последовательности операторов. Легко видеть, что сходимость по норме последовательности линейных операторов из [А^Д1] эквивалентна их равномер­ ной сходимости [£’]. Оп р е д е л е н и е 4. Скажем, что ряд U,(x) +- Ег(х) + + . . . + U„{x)-\- операторов из [Е,Е*\ безусловно сходится (£'], если для любого х^Е ряд| (У,(л:)| + |(Уг(*)|... -ф \Un(x)\ ...... сходится. Т е о р е м а 8. Если ряд операторов U1(x) + Ui(x + U„(x).... из [2Г,Е] безусловно сходится [£'], то существует такое Л, что |(7,(х)| -ф |С/*(л:)| ф.. ф \U„{x) |ф... < /ф : | для лю­ бого х из единичной сферы Е. Эта теорема доказывается тем же методом, как и аналогичная ей теорема 7 первого параграфа, поэтому доказательства ее не приводим. Если E '=R, то получим безусловную сходимость [/?] ряда функ­ ционалов. Оп р е д е л е н и е 5. Ряд операторов (Д(дг)ф Ut(x) -ф ...-ф ф £„(*)... из \Е,Е'} сходится безусловно равномерно [£'], если ОО ряды 2 U„(x) равномерно сходятся в отношении всех х из п =1 единичной сферы Е. Другими словами для каждого е>0 можно СО найти такое п, что 2 |7/Л-(лг)( 2при каждом х из £с |х <1. /С=Я+ 1 Если E' = R, то будем иметь безусловно равномерную схо­ димость |£j ряда функционалов, § 3. Измеримые функции и операторы Через xt Ut будем в дальнейшем обозначать абстракт­ ные функции со значением соответственно из пространств Е и [Е, £']. Если в рассуждениях эти обозначения не содер­ жатся, то подразумеваются абстрактные функции со зна­ чениями из Е. Абстрактная функция xt называется не­ прерывной (£') в точке t, если из того, что lim tn— t следует tl~* О lim U(xtn) = U(xt) для каждого Uc [Е,Е] в смысле нормы л-»-» 144