УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

чай, получим теорему о слабой компактности единичной -сферы пространства сопряженного к сепарабельному. 2. Если в рассмотренной нами теореме положим Е—Е1= /*, то получим, как частный случай, теорему о слабой ком­ пактности единичной сферы пространства [/2,/2] операторов в гильбертовском пространстве. Оп р е д е л е н и е 3. Последовательность операторов из [Е, Е'\ сходится равномерно [£"], если для лю­ бого данного vs[E',E"] и каждого е > 0 можно найти такое N(e), что для любых р и q>N \v[Up(x)) — v[Ug(x)] < е од­ новременно для всех л; из единичной сферы пространства Д. Если В' = Е, т о имеем равномерную сходимость [£'], если же Е" = R получаем равномерную сходимость последова­ тельностей операторов в смысле [/?]. Замечание . Если оп­ ределение равномерной сходимости [ Е "] последовательности операторов выполняется только для точек некоторого мно­ жества М из единичной сферы Е, то будем говорить, что равномерная сходимость [Д11] последовательности операто­ ров имеет место на множестве М пространства Е. Оче­ видно равномерная сходимость \Е"] последовательности операторов вытекает из равномерной сходимости [Д'] и вле­ чет за собою их равномерную сходимость [/?]. Т е о р ема 6. Если множество М во множестве Л будет плотным, то для каждого элемента хеА можно найти сходящуюся последовательность j x„j- е М с свойством, что для любого наперед заданного е > 0 можно подобрать .N>0 , чго для п > N\x — х п О сразу для всех хеА, и соответствующих им сходящихся последовательностей! До к а з а т е л ь с т в о . В самом деле, М плотно в А. Это значит для каждого хеА существует ух,е еМ, что j ух,г —дг|<[в. Пусть будет л: произвольное из Л. Тогда для каждого х мож­ но построить последовательность |хп| из элементов множе­ ства М, где хл —у 1 последовательности такого типа, по- 71 строенные для каждого хеА, и дают требуемое. Те ор ема 7. Для того, чтобы последовательность j | операторов [Е^'] сходилась равномерно \Еп), необходимо и достаточно, чтобы: 1) последовательность норм опера­ торов была ограничена, 2) эта последовательность сходилась равномерно [£"] на множестве плотном в еди­ ничной сфере Е. Доказательство этой теоремы не приводим, так как оно проводится тем же методом, как для теоремы 4 143