УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

следовательностей операторов из [ Е, £']. Приложим про- веденную классификацию различных видов сходимостей последовательностей операторов из пространства [Е, £' к определению понятия компактности множества этого пространства. Оп р е д е л е н и е 2. Множество Л1 из пространства [£, Е '] называем компактным [Е"\, если из всякого беско­ нечного его подмножества можно выделить [Е"] сходя­ щуюся последовательность операторов. Если в формули­ рованном определении будем полагать Е"—Е и E"=R, то получим понятия [£'] и [R] компактностей множеств операторов из [£, £']. Очевидно [£"] компактность мно­ жества операторов из [£, £'] вытекает из [£'] компакт­ ности и влечет за собой [£] компактность. Те ор ема 5. Если £ и £ ' = [£/,£] сепарабельны, то единичная сфера в пространстве [£, £'] компактна в смысле [£] сходимости линейных операторов. До к а з а т е л ь с т в о . Пусть х = х„ . . . хп . . . }, F — — |/j> f t > /« .......... }•• счетные всюду плотные множества^ соответственно, в пространствах £ и [Е'М]. Обозначим че­ рез М произвольное подмножество единичной сферы про­ странства [£, £']. Нормы операторов U, входящих в него, будут не превышать единицы и [/, [6/(х,) ] | ч< |А || U (хх) < < l/j || Щ\ х, j, где х г элемент счетного плотного множества. £ /1 элемент счетного плотного множества [Е\ £]. Ввиду этого находим, что множество f x[U{xl)] при всех U из М будет ограниченным. Следовательно, есть среди U из М бесконечная последовательность линейных операторов, ко­ торую обозначим через чт0 последовательность \f\ W'i\ ,C*i)] } сходится. Проведя теперь наше рассуждение для последовательности и функционала f 2 ^ \ f n \ , по­ лучим | (*i)J < 1 / г (*i)l < 1 / iW j l*» ! . т>е- по следовательность | / , [Н'Д.(*,)][■ образует ограниченное мно­ жество, следовательно,среди есть последова­ тельность } бесконечная, для которой последователь­ ность \ fAV {i , S x i\\ сходится. Теперь мы можем сказать, что последовательность t(x \)\ будет обладать тем свой­ ством, что для нее будут сходиться одновременно последо­ вательности {/, (*,)]} и ,(•*))]}• Согласно принци­ 141