УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

Те ор ема 4. Для того, чтобы последовательность {£/„(*)} операторов из | Е, Е '] сходилась [£"] к оператору Ue[E, Е'] необходимо и достаточно: 1) чтобы последователь­ ность норм {|G„ } была ограничена. 2) Эта последователь­ ность сходилась [Е"\ к оператору U е [£, Е'} на плотном множестве Ge/с, где к единичная сфера из Е. До к а з а т е л ь с т в о . Необходимость условия 1 следует из теоремы 3 этого параграфа. Необходимость 2 очевидна в силу самого определения [£"] сходимости. Докажем достаточность формулированных условий. Пусть дано х0б к, тогда в силу условия можно найти последова­ тельности \х, Л из G с свойством, что lim х„ = х 0 в смысле 1 * П-+ 0 сходимости ( Е). Пусть р, q, п некоторые три целые числа, тогда для них можем написать следующее: Up(X о ) Uq(x0) — [Up(x0) Up[X„) J - ( - [Uq( K„) Uq(x0)] - [ - ~Ь [Up (xn) Uq(x„)\, отсюда для каждого г>е[£', Е"] V [Up(x0)— Uq(x 0 ) ] - v [U p(x0) — Up(x„)\ - f v[Uq(x„)— Uq ( * „ ) ] - f - f v[Up{x„) — Uq (X„)] И V[Up(_X 0 ) — Uq(x0)\ | < \v [Up ( X0) — — Up(x„)] 4 v[Uq(x„— X()\ + V [Up(xn)—Uq(x„)] ■ Но так как v[Up(x0 — *л)]|-^ v \Up \'x0 — x„ , v Uq(xn — — * „ ) ] | ч< I V j| Uq \\xn — хй\. Следовательно, имеем \v [Up ( x 0)— Uq{x0)] \ < 'v\\Up 'x0—xn\-\- 4 Iи Uq Xn — *0 !4 , v [Gp(x„) — Uq (Xn)]|. Ввиду того, что последовательность норм [Д, [ в сово­ купности ограничена Z,, то получим | v[Up(x0) —Uq(x о)] | < 2 V \L Xq— X„ || 4 V[Up{x„)—Uq(xn)]\. В последнем неравенстве при р и q, стремящимся к оо, ифик­ сированном п получаем, что второй член правой части об­ ращается в нуль. При п стремящимся к оо получаем ра­ венство нулю и первого члена правой части этого неравен­ ства. Отсюда и следует [ Е"\ сходимость последовательности операторов |G,,(x)| для точки х 0 ек . Если в доказанной теореме будем полагать Е" = £'и Е" = R, то получим необ­ ходимые и достаточные условия [Е‘] и [/?] сходимостей по­ 140 I