УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

нейному оператору U(x) — x для х из с ®/2, но в смысле нормы операторов сходимости тут не будет. Те о р ема 1. Последовательность линейных операто­ ров сходится [£'] в [£, £'] к оператору U в том, и только в том случае, если для любого х е Е lim \Un(x) — П-+ со — и(х)\ = 0. До к а з а т е л ь с т в о . Необходимость этого условия сле­ дует из того обстоятельства, что в нашем случае Е "~Е \ а, следовательно, в пространстве \Е', £'] есть тождествен­ ный оператор. Достаточность—результат того, что элемен­ тами пространства [£', Е '] являются линейные операторы. Т е о р ема 2. Для любого Ьи сходимость [Е"] в [£,£'] последовательности линейных операторов вытекает из схо­ димости [£'] и влечет за собою сходимость [/?]. До к а з а т е л ь с т в о . Первая часть теоремы вытекает из определения 1 этого параграфа. Вторая часть— следует из того обстоятельства, что оператор U(x') = х'1/(х1'), где х "—произвольный элемент из Е", a f(x') любой линейный функционал, определенный в Е<, будет принадлежать про­ странству [Е',Е"\. В пространстве [£,£] функционалов в Е сходимость [£'] при любом £ есть обычная слабая сходимость функционалов. Т е ор ема 3. Если последовательность операторов {(У„(х)} из [£,£'] сходится [£"] к оператору U е [£,£'], то последовательность {:'££>(} норм операторов ограничена. До к а з а т е л ь с т в о . В самом деле, из определения [£"] сходимости имеем lim v [Un(x)\ = v[U(x)] для каждого r t -> 00 6 [£"',£■"] и любого х из Е. По теореме 5 § 1 этой работы находим, что последовательность ||(Л,(х)|} является ограни­ ченной. Далее по теореме Е „Пусть будет дана в [ Е , £'] последовательность (*)} операторов таких, что lim j|C/n(x);| < о с для всякого хеЕ, то последовательность п — о о норм | U , ограничена", находим справедливость формули­ рованной теоремы. Если £"= /?, то получим теорему: если последовательность |(У„(х)| операторов из [£, £'] сходится [£] к оператору Ue[E, Е'\, то последовательность норм { М ограничена в совокупности. > Банах , Указ. работа, см. стр. 130. 139