УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

ности так же, как выше, в примере 2 этой работы, полу­ чим, что линейные отображения в Р упомянутой выше ( R) сходящейся последовательности будут сходиться в смысле нормы Р. Каждому же элементу хес-ф-12 из компоненты/3 построенная последовательность операторов приводит в со­ ответствие нуль Q из контробласти операторов. Следова­ тельно, линейные отображения этих нулей в /3 будут в смысле нормы 12 сходиться. Рассуждения же относительно элементов пространства сф-Р, являющихся суммами элементов из с и /2, сводятся к разобранным выше двум случаям относительно элементов компонент с и I2. Приме р 2. Последовательность операторов из пространства [Е,Е'] сходится [/?], но не сходится [£"]. Оператор Un(x) из искомой последовательности (*)[ строим следующим образом: Un(x) Д^я х — л: (*,, х2, ....... Кп, •••) из /2равняется элементу (О,... 0,.у„,0,...) того же пространства, где_у„— ип(х) ра­ вен нулю Q контробласти для хе(с). Для элементов про­ странства сфР, которые являются суммами элементов про­ странства с и I2 определяем оператор так же, как в пре­ дыдущем примере. Линейность его очевидна. Положим, как и ранее Е "— I2. Построим в пространстве контробластей последовательности {Un (x)J. операторов, оператор U[y) с контробластью в Р следующим образом: (У(у) равняется ну­ лю Q пространства Р для элементов у из с:и(у)—у для элементов у s Р. Далее в пространстве сфР контробластей оператор и (у) определяем так же, как это делали выше. Лег­ ко видеть, что этот оператор линеен. Оператор и (у) пока­ зывает, что для хе с®Р и принадлежащего компоненте Р отображения даваемые операторами последовательности | н е будут сходиться [£"], но ( R ) сходимость, оче­ видно, имеется для этих элементов. Пр им е р 3. Последовательность ■{£/„[ операторов из [£,£'] сходится [£'], но в смысле нормы операторов сходи­ мости нет. Положим и„ ( х )=у=у ( у 1 ,у 1 ,...у„, 0,0...), где = х„ У i *-2» • • •У п ~ Хп , для любого х = x(xi ,x2, ...,х „,...) из сФР. Видим, что по­ строенная последовательность будет сходиться [£'] к ли­ 138