УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

Легко видеть, что диагональная последовательность по­ следней таблицы будет искомой, т. е. другими словами мы имеем теорему 8. Если для пространства Е, [£,/?] сепара­ бельно, то единичная сфера Е компактна в смысле (R) схо­ димости. § 2. О сходимостях линейных операторов в банаховских пространствах Оп р е д е л е н и е 1. Последовательность линейных опера­ торов {«,,(.*:)} из [Е,Е] сходится [£"] к оператору и из [£,£'], если для любых хеЕ и v e \Е\Е"\, lim | vunx — vux \= 0, если п -+ 00 Е" —Е', то имеем неравномерную сходимость операторов, которую обозначаем через [£']; если же Е'1= R, то полу­ чаем слабую сходимость операторов и обозначаем ее через {/?]. Возникает вопрос, существует ли такое пространство (£,£'] типа ( В), в котором [£"'] сходимость последователь­ ности операторов не совпадает ни с [/?], ни с [Е'\ сходимостями. Во всех трех примерах, ниже рассмотренных для области и контробласти последовательности линейных операторов, будем брать пространство с © 1\ Примеры, которые сейчас приведем, дадут положительные ответы на поставленный выше вопрос. Приме р 1. Последовательность операторов из про­ странства [Е,Е'\ сходится [£"], но не сходится [Е'\. Оператор ип{х) из искомой последовательности строим следующим образом: и„ (х) для х = х(х1х2...,хп, ...) чз с равняется элементу (О,..., уп, 0,...) того же пространства, где у„ = лгд; Un(x) равен нулю Q из контробласти для х el2. Для элементов про­ странства с -ф- 1~, которые являются суммой элементов про­ странств с и 1г, оператору Un(х) приписываем значения, рав­ ные сумме значений на слагаемых. Видим, что таким об­ разом определенный оператор аддитивен во всем простран­ стве с Непрерывность его следует из того, что Un(x) < х для хе с ф/*. Возьмем в качестве Е" простран­ ство /*, тогда каждому элементу х из пространства с-ф-1'2, входящему в компоненту с, рассматриваемая последователь­ ность операторов будет приводить в соответствие ( R ) схо­ дящуюся последовательность элементов из с. Далее, рас­ суждая относительно этой (R) сходящейся последователь­ 137