УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

т что при т^>п Е |м (**;) I< г для каждого ис\а \ < 1 или к—п 4-1 т т | и()1х,с) ! следовательно <>. к=л+1 к=л+1 Последнее неравенство вытекает из того обстоятельства, что для данного элемента линейного пространства суще­ ствует функционал с нормой, равной единице, принима­ ющий в данном элементе значение, равное его норме. В силу этой теоремы существует линейный оператор, опреде­ ленный в пространстве Е с нормой равной 1, и норма зна­ чения этого оператора в данном элементе равняется нор­ ме элемента пространства. Таким оператором, очевидно, будет оператор и(х) — — х'}(х), где х '—элемент пространства Е' с нормой, равной единице, af(x) —функционал, определенный в пространстве Е с упомянутыми выше свойствами. Легко видеть, что принцип предельных точек в функци­ ональных пространствах не имеет места. Например, в про­ странстве /2 множество (1,0,0,...), ( 0 , 1 , 0 , 0 , будет огра­ ничено, но не будет содержать подпоследовательность (/*) сходящуюся. Пусть будет для данного пространства Е его сопряженное сепарабельное, тогда имеет место теорема: если для пространства Е, [Е, /?] сепарабельное, то каждое ограниченное бесконечное множество содержит подпосле­ довательность элементов (/?) сходящуюся. В самом деле, в [£,/?] существует счетное множество такое, что для любого fb[E,R]limfn—f в смысле нормы [.£,/?]. п —О Если М данное ограниченное множество элементов х из Е, то множество/ j (х) ограничено, т. к. fx(x) < | /, || л:|. Следовательно, существует счетное множество \х1>т)г что последовательность J/j (Xj, т)} будет сходящаяся. Из ] хит\ можно выделить множество ■[ х2,т\, что последова­ тельность j /2(x,,TO)j будет сходиться. Продолжая этот процесс, получим таблицу: •*•10» Хх,2) -^1>з....... -*ч»т»...... -*2>1> •*'2>3' •••■•» Х2>т> ...... Хп ,и Хп, 2 , -'■«13 Хп,т>. 136