УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

оператора и е \Е,Е'] ряд и (Xj) | -f и(х2) | -|- ... -f | и(хп) [+ ... сходится. Очевидно, безусловная сходимость рядов элементов, оп­ ределенная через линейные функционалы в нашем случае, будет безусловной сходимостью |Л|. Те ор ема 7. Если ряд х, 4- лс,-{-...-f-.v + ... безуслов­ но сходится(£',)1 то дано такое К, что |н(х,) + гг(х2) |+- -{-...-{- \и (х/г) | ■+•... < К\и | для любого ке [£’,£’]. До к а з а т е л ь с т в о . Эта теорема доказывается тем же методом, что и аналогичная теорема для безусловной схо­ димости, в смысле (R)1. В основе доказательства лежит вспомогательная теорема, доказанная Гельфандом в его диссертации*. Следуя Гельфанду, положим р (и) — Е | и (х,) и его методсм можно показать, что так построенный функ­ ционал будет выполнять все условия упомянутой выше вспо­ могательной теоремы. Далее все очевидно, поэтому под­ робного доказательства не приводим. Последняя теорема дает нам возможность выяснить, что мы должны понимать под суммой безусловно сходящегося ряда. 00 Лр Так как !- и (х,) < - к (х,) | К |и j , следовательно, '/_i 1=1 00 2^гг(х;) есть линейный оператор относительно гг, т. е. отно- <=1 сительно пространства [Е,Е'\. Этот оператор и рассматри- 00 ваем, как сумму ряда Ех* безусловно сходящегося (Е]). *=i со Оп р е д е л е н и е 4. Скажем, что ряд ^Х; безусловно г=1 • СО равномерно сходится Е , если ряды I гг(х,) равномерно г=1 в отношении всех ггс jгг <1 сходятся. Другими словами, если для каждого s > 0 можно найти такое п, что 00 00 I jгг(хл) |<е при каждом ис\п \ < 1. Каждый ряд £х, бе- ж=я+1 г=1 зусловно равномерно сходящиеся (£'), будет сходиться (Е). В самом деле, для данного г > 0 существует такое п, 1 См. Математич. сборн., т. 4, 1938, № 2, стр. 241. • Т а м же , стр. 240. 135