УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5
оператора и е \Е,Е'] ряд и (Xj) | -f и(х2) | -|- ... -f | и(хп) [+ ... сходится. Очевидно, безусловная сходимость рядов элементов, оп ределенная через линейные функционалы в нашем случае, будет безусловной сходимостью |Л|. Те ор ема 7. Если ряд х, 4- лс,-{-...-f-.v + ... безуслов но сходится(£',)1 то дано такое К, что |н(х,) + гг(х2) |+- -{-...-{- \и (х/г) | ■+•... < К\и | для любого ке [£’,£’]. До к а з а т е л ь с т в о . Эта теорема доказывается тем же методом, что и аналогичная теорема для безусловной схо димости, в смысле (R)1. В основе доказательства лежит вспомогательная теорема, доказанная Гельфандом в его диссертации*. Следуя Гельфанду, положим р (и) — Е | и (х,) и его методсм можно показать, что так построенный функ ционал будет выполнять все условия упомянутой выше вспо могательной теоремы. Далее все очевидно, поэтому под робного доказательства не приводим. Последняя теорема дает нам возможность выяснить, что мы должны понимать под суммой безусловно сходящегося ряда. 00 Лр Так как !- и (х,) < - к (х,) | К |и j , следовательно, '/_i 1=1 00 2^гг(х;) есть линейный оператор относительно гг, т. е. отно- <=1 сительно пространства [Е,Е'\. Этот оператор и рассматри- 00 ваем, как сумму ряда Ех* безусловно сходящегося (Е]). *=i со Оп р е д е л е н и е 4. Скажем, что ряд ^Х; безусловно г=1 • СО равномерно сходится Е , если ряды I гг(х,) равномерно г=1 в отношении всех ггс jгг <1 сходятся. Другими словами, если для каждого s > 0 можно найти такое п, что 00 00 I jгг(хл) |<е при каждом ис\п \ < 1. Каждый ряд £х, бе- ж=я+1 г=1 зусловно равномерно сходящиеся (£'), будет сходиться (Е). В самом деле, для данного г > 0 существует такое п, 1 См. Математич. сборн., т. 4, 1938, № 2, стр. 241. • Т а м же , стр. 240. 135
Made with FlippingBook
RkJQdWJsaXNoZXIy ODQ5NTQ=