УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

странстве С непрерывных функций существует такое под­ пространство Е , приняв для которого за контробласть- D, будем иметь в этом подпространстве промежуточную» сходимость, не совпадающую ни с слабой сходимостью, ни с сильной. Т е ор ема 5. Пусть дана последовательность ]х„} эле­ ментов из Е такая, что lim |m(x„)K°o для каждого опера- П-+ 0 тора и е [Е, Е'\, тогда последовательность норм элементов. ]|х„ j- в совокупности ограничена. До к а з а т е л ь с т в о . В цитированной выше книге Банаха доказана теорема: пусть дана последовательность jx„J. эле­ ментов из Е таких lim |/(х„)| <С 00 для всякого fe[E, R] тогда П~* 00 последовательность норм {|ХЛ|[ ограничена в совокупности. Из этой теоремы следует справедливость и теоремы, формулированной нами, так как оператор и(х}—х ] /(х), где ж1—любой элемент из Е? с \ х11= 1, а /(х) произвольный линейный функционал из [Е, /?] будет линейным. Те о р ема 6. Для того, чтобы последовательность эле­ ментов {дги}6 Е сходилась ( Е ') к элементу хеЕ необходимо, и достаточно, чтобы: 1) последовательность норм]jx„|J. была ограничена в со­ вокупности, 2) Пт и (хп) = и (х) для множества А операторов плот­ ного в [Е,Е'\. До к а з а т е л ь с т в о . Пусть и ( х ) 6 [ Е,Е '], тогда по усло­ вию теоремы существует для всякого и ( х ) линейный опе­ ратор Н(х)е И такой, что [Я— где М —верхняя граница чисел \хп\ и х имеем: « ( х — хп) — Н (х— хп) (> >\ и [х — хп) |—| Н{х —Хп)]; и так как \и(х— хп)— — Н(х—х'п) \< -£ х—хп j, следовательно, |и(х—Х/г);< 2Л1 < И (х— Хп) (+ а, ввиду чего Пт \и ( х — хп) | = о П -+0 Этим достаточность доказана. Необходимость условия 2-го очевидна. Необходимость первого—результат теоремы 5. Оп р е д е л е н и е 6. Скажем, что ряд х, -(- xs-f-...—|—хх+... из Е безусловно сходится [Е], если для любого линейного 134