УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

Приме р 1. Е и Е'— бесконечно-мерные пространства, но Е сходимость в Е совпадает с ( R ) сходимостью, не совпа­ дает с (Е) сходимостью. Заметим, что И. Гельфандом доказана теорема: если Е регулярно, то каждый линейный оператор у — и[х), который £ пространство сходящихся числовых последовательностей, на Е отображает, вполне непрерывен х. Принимая во внима­ ние только что цитированную теорему и теорему 4, выше нами доказанную, можно утверждать, что при отображении пространства с на Е (Гильбертово числовое) (/2) сходимость совпадает с ( R ) сходимостью. Приме р 2. ( Е') сходимость в Е не совпадает ни с ( R ), ни с ( Е ) сходимостью. Рассмотрим банаховское пространство, которое является прямой суммой пространства си Е, где с—пространство схо­ дящихся числовых последовательностей, Е —Гильбертово функциональное. Будем обозначать это пространство через с © LE. Элементами его будут суммы элементов пространств с и Е, т. е. суммы вида х-\-у, где xsc и yeL'1. Норму элементов в этом пространстве определим, как сумму норм слагаемых. Таким образом, построенное пространство примем за область определения линейных операторов, в качестве контробласти возьмем пространство Е. Рассмотрим в про­ странстве с ® Е последовательность + Q}, где после­ довательность в с ( R) сходящаяся, но (с) не сходится> a Q нуль пространства Е. Согласно цитированной выше в примере 1 теореме Гельфанда и по теореме 4 этой работы последовательность \Хп + Q} будет в пространстве с®Е,(Е) сходиться. С другой стороны возьмем последовательность jQ1+ из про­ странства с ® Е, где Q 1—нуль пространства с, а последова­ тельность (R), сходящаяся в пространстве Е, но не сходящаяся ( Е ). Очевидно, последовательность |Q +*л(0[ в пространстве с ® Е ( R ) сходится, но ( Е ) не сходится, так как оператор, отображающий элементы Е на самих себя, а элементы с в нуль Е показывают, что (Е) сходимости нет, то, что только рассмотренный оператор линеен в пространстве с ®L2, очевидно. Из приведенного примера вытекает, что в про­ 1 Математич. сборн., т. 4, № 2, 1938, стр. 274. 133