УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

деленный в Е линейный. Отсюда вытекает (R) сходимость последовательности |хл| относительно пространства Е, что и требовалось доказать. Возникает вопрос: существует ли для данного простран­ ства Е пространство Е' такое, что (£') сходимость в Е не совпадает ни с ( R ), ни с ( Е) сходимостями в нем? Этот вопрос ниже будет решен положительно. Т е о р ема 4. Если в пространстве [Е, £'] элементами являются только вполне непрерывные операторы, то схо­ димости элементов (Е1) и (R) совпадают. До к а з а т е л ь с т в о . В самом деле, пусть последова­ тельность элементов из Е (R) сходится, тогда она образует ограниченное множество, но вполне непрерывный оператор переводит ограниченное множество в компактное и (R) сходящуюся последовательность в (R) сходящуюся. Следовательно, последовательность отображений {и[хп) ^ где и{х) произвольный вполне непрерывный оператор, определенный в £ с контробластыо в Ь\ будет компактна и ( R ) сходится, а значит все предельные точки последова­ тельности | и[хц) j- между собой совпадут, и их точка сов­ падения будет ( R ) пределом последовательности |н(х„)|, к которому она и будет сходиться в смысле (Е1) в простран­ стве В. Обратно допустим, что в нашем случае последо­ вательность |хл} сходится (Я'). Тогда, так как и{х) = x'f(x) вполне непрерывный оператор, где х' произвольный эле­ мент из E',af{x) любой линейный функционал, определенный в Е, то из сходимости {«(хл)}к «(х) следует сходимость / (хл)к/(х), т. е. из сходимости ( Е ') вытекает сходимость (R), что и требовалось доказать. Замеч ание . Сейчас было доказано, что если в про­ странстве [ Е, Е'\ элементами являются только вполне непрерывные операторы, то сходимости элементов (£') и (R) в пространстве Е совпадают. Возникает вопрос: если в пространстве Е будут совпадать сходимости (£') и (/?), будут ли совпадать классы вполне непрерывных и линей­ ных операторов при отображении Е на £ '? Из простого примера вытекает отрицательный ответ- Пусть будет в качестве области и контробласти простран­ ство в нем совпадают сходимости (R) и (/'), а следовательно, ( R ) и (£'), но в этом случае существует тождественный оператор, а он не вполне непрерывен. 132