УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

инейных операторов, отображающих банаховское про­ странство Е в банаховское пространство Е', обозначается IE, Е ']. § 1. О сходимостях элементов в банаховских пространствах Оп р е д е л е н и е 1. Последовательность элементов jx„} из Е сходится (Е') кхеЕ, если для любого оператора U из [ Е , £'] Пт |и ( х „)— и(х) = о. Ясно, что (R) сходимость ti— СО есть обычная слабая сходимость в Е. Оп р е д е л е н и е 2. Последовательность элементов |х„}. е Е сходится ( R ) в отношении Е1, если для любого опера­ тора ме [Е, Е‘) и любого функционала /е [Я1,/?] lim |/ [и(хл)]— — f[u(x)\\ = o. Т е ор ема 1. {Е) сходимость в Е совпадает со сходи­ мостью по норме. До к а з а т е л ь с т в о . В самом деле, в этом случае существует в Е тождественный оператор, а отсюда и сле­ дует справедливость теоремы. Т е о р ема 2. Для любого Е' сходимость ( Е ') в Е выте­ кает из сходимости ( Е ) и влечет за собой сходимость (R). До к а з а т е л ь с т в о . Справедливость первой части фор­ мулированной теоремы следует из того, что элементы пространства [Е, Е '] линейные операторы, вторая часть — следствие того, что оператор и{х) = хЧ(х) есть линейный, где х1 произвольный элемент из Е\ а /(х) произвольный линейный функционал в Е. Т е о р ема 3. ( R ) сходимости последовательности {х„| элементов из Е в отношении Е и Е1 между собой совпадают. До к а з а т е л ь с т в о . Допустим, что последовательность | х пj элементов пространства Е сходится ( R ) в отношении него, тогда она будет сходиться (R) и в отношении Е\ В самом деле, limf[ti(xn)]— /[«(х)] для каждого иъ[Е, Е '] / 2 -*эо и fe[E', /?], так как выражение /[«(х)] при любом ие[Е, £'] линейный функционал в пространстве Е. Допустим теперь, что последовательность |х„[ сходится (R) в отношении Е', тогда она будет сходиться (R) и в отношении Е. В самом деле, оператор к(х) = х'/(х), где х1произвольный элемент из Е1, а /(х) любой линейный функционал, опре­ ё* 131