УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

Доцент Н. С. ТИТОВ , кандидат физико-математических наук О СХОДИМОСТЯХ ЭЛЕМЕНТОВ И ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ПРОСТРАНСТВАХ ТИПА (В) И НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ И ОПЕРАТОРОВ Содержание настоящей работы разделяется на две главы. В первой приводится классификация различных видов сходимости элементов и линейных операторов в простран­ ствах типа (В) с несколько новой точки зрения. Указывается на возможность естественного определения сходимости эле­ ментов промежуточной между сильной и слабой. Доказана теорема, что если элементами пространства' [ Е , Д ]1являются только вполне непрерывные операторы, то введенная промежуточная сходимость совпадает со слабой. Даются примеры бесконечномерных пространств типа (В), для которых промежуточная сходимость совпадает со слабой сходимостью, но не совпадает с сильной. Строятся примеры пространства типа (В), в которых сходимость элементов, определенная через линейные операторы, не совпадает ни с слабой сходимостью, ни с сильной. Доказывается, что существует [Д"] сходимость последовательности опе­ раторов из пространства [Д, Д1]. Формулируются условия, необходимые и достаточные для рассмотренных сходимостей последовательностей элементов и линейных операторов. Доказывается теорема о компактности единичной сферы пространства [Д, Е'\ в смысле (R) сходимости линейных операторов, которая содержит в себе, как частный случай, несколько ранее известных результатов. Затем на основа­ нии проведенной классификации сходимости элементов и линейных операторов формулируются понятия (Д1) непре­ 1 Обозначения см. стр. 130, 131. 0 Ученые записки. V 129