УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

5. ft (У,и) < Bt(y) для всех функций |м |</с , ^ — сум­ мируемая функция. Оператор 0(н) = ф [x,$hl (x,y)fl (y,u)...$Kn(x v)f„(y,u)dy ] согласно теорем 2 и 4 § 1 непрерывен и компактен в прост­ ранстве (С). Предположим, что ф(х) есть решение урав­ нения ф(х)= V $i$Ki (x,y)fi(y,ty)dy + f(x). I =1 Это решение^есть функция непрерывная. Возьмем замкну­ тую сферу 6'1Дф) радиуса D с центром в ф, в пространст­ ве (С). Покажем, что элементы j и ^ этой сферы оператором С(и ) переводятся в элементы ее же. Для этого рассмотрим выражение: О (») - ф |= I<р [х, J Ki(x,y) /, (у,и) dv,... J Кп(х,у) fn(у,и) dy] — — S $i№i(x,y) dy—) (х)\< 1=1 < I? [■*>!' Kt ( Х’У ) Л (y>tt)аУ’~ f к » (*>V)/« (У’и) dy — — cp [x, J Kt (x j/) /, (j/.ф) г*у,... J /С, (xj/) f„(у, Ф) dy | +- + |cp [x,\ Kt {xy)f i (y, Ф) dy,... J Kn(x,y) fn(у, ф) dy] - - S p, J Kt ( x,y)ft dy - f(x) |< 1=1 < E Mil I fii (x,y) [ft (y,ti)—h(y> Ф)] dy |+ Ц-< 1=1 x. < S Ml[ J K? (x,y)dy]4* • [П fi(y,u) — f i (y ,Wdy]4*+-^-< 1 = 1 Z I <SMC , + о <s- *(.«««■'■ + Д „ д , i= i 2Л4i C’j я (m es£ )’ l» 2 <=i л • 2 (/nes£)42 :<! Таким образом P [О (гг);Ф]= та х \О (гг)—ф | < D. Следовательно, существует неподвижный элемент гг= —О (гг), причем гге й>(Аф). 127