УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

Следовательно, р[О(ы); ф] -< max £ Mi ш [6,- D mesE + ^ -m e s Е J, i = l 2 так как I а —ф | .< D, а |ф '< е, то |Н [<Z) + e. Поэтому р [О (и); ф]< v Afi д,- [bt D mes Е - \ - /«es£"J = i = - l 2 =Z) 2 a, [Ь* mes E + £> + ^ Л—-^ mes E]. Подставляя в это неравенство значение констант а„ Ь„ получим р [ 0 ( и ) ;ф ] «Д то есть оператор 0(a) элементы сферы *S(D,^j переводит в элементы той же сферы. При таком преобразовании, согласно теоремы Шаудера, существует неподвижный эле­ мент, т. е. и = 0(и), что и требовалось доказать. Т е о р ема 14. Интегральное уравнение (1) и(х) = <р [х, f Ki (х,у) fi(y,u)dy,... f К„ (x,y)f„(y,u) dy] имеет решение в сфере радиуса D пространства ( С )— не­ прерывных функций вокруг решения уравнения (2) ф (х) = £ рхJ (x,y)ft(у, ф) dy + J(x) — константы, /(x) —непрерывная функция на множестве Е, если выполняются следующие условия: 1. (х, Zi, .. zn ) <р (х, z\, Z 1 2 , ..гл)| М0 X Xj -f- + ZMl \zl—z/ \ . 1 = 1 2. |<p(x, zv zit ..zn) — - Pi — f(x) | < . i = i 2 3. K,(x,y)— непрерывные функции относительно аргумен­ та хи $Kl2(x ,y)dy<Cl2. 4. | 11(У>и i)— ti (У,иг) I^ — J 1— . 1/ /их . г/1 /i(/Hes£)4s 126