УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

где Щу) dfj(y,u) ди ; pi(y ) = tiiy.o), v=0 Если выполняются следующие условия: 1. \<?(x,z1,z2,...zn)— tp(,x1, z \ , z \ , . . z ’„) <£М0\х —Xi\ -f 4- Е Mi \Zi— z'i I. f=i 2. Ki(x,y), ( /=1 ,2 . . . га)—непрерывные функции по Bx “ и ограничены, то есть I I< at, где at = 3. o < dfi^ ' l-) <bi, где b i< 1 ди MimesЕ •п + Y d а — 1,2...re; г—некоторая константа. 4. | ti (у, о) I < С/, / = 1, 2,..п. <^г, для | t t |es , г=1 , 2,..га. g даЛ(*,«) <?и2 s—малая положительная величина. До к а з а т е л ь с т в о . Из условий теоремы следует, что _ s < i L + ди2 Интегрируя дважды это неравенство, получим < t i (x , u)—fi(x,o) — ■dfj (х, и) ди шли иначе (а) | ft (х, и)—pi (х) - N t (х)и |< .. еи2 U <Г ---- 2 8 И2 Обозначая снова правую часть интегрального уравнения (1) через О (it) =<?[х, (ft, (х,.у) /.(у.и) dy,...$Kn(xy)fn(y,u)dy], покажем, что этот оператор непрерывен и компактен в сфе­ ре |h(x)!v<s в пространстве непрерывных функций. Для этого, согласно теорем 1 и 4 § 1, достаточно показать, что 124