УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

< 2 EM; JJ Hi{x,y)dxdy ■ J [f i (y,u)—fi(y,ty)]2dy- 1=1 ~ «? 2 Г. Ml C) — ;r-L—— $(u - ф)г dx + - y=D’- i=i 4 (ЪМ-)С~п /=1 » i Таким образом оператор О(ы) переводит элементы вы­ бранной сферы s($,D) в часть той же сферы. Тогда, соглас­ но теоремы Шаудера, можно утверждать, что существует неподвижный элемент, то есть и = О(и), где не s (ф, D). Т е ор ема 11. Уравнение (я) ф(*) = £ р, А, (ф)+ /(*). i= 1 где р,-— константы ( i= 1, 2,..п) и /(х) — непрерывная функция на Е, имеет решение в сфере радиуса D, прост­ ранства Гильберга, вокруг решения линейного уравнения ( b) V (х) = ^ Р/ J К((х, у) [а,» (у) -f s, (у)] rfy+ / (х), 1=1 если выполняются следующие условия: 1. Я Hf (х, у) dxdy —С1 г, 2. |/i (У, Ф) - Ф — s, {у) | < — ------- 2С4 «<?.?£ / = 1 , 2 , ..л, а,-— константа, s,-(.y)— суммируемые функции вместе со своими квадратами. 3. | fi (у, ф,) - U (у, ф.) I< ■ 2СШ ) Из условия (3) следует, что fi (у, ф) непрерывны относи­ тельно второго аргумента. Далее J Л(У> Ф) 4У < I Г| а< ФI+ Is/ (У) I н------------ зa D n~ A 'dy 4. L 2 CarnesЕ) - (S J 1=1 1 - f а 4-------------------------\ [ JФг dy 4- J Si (y) dy + mesE J. 4QmesD ■ 2p2, / i=i 121 D H i - : ) "