УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

1. \<f x,z1,z i...zn)— '?(x1,z[,...zt)<M,\x— Xjl-f'-iyw, |zi— z',1, 1=1 2. |p(x, zu Z,...zn) — Б p, z, —/(x)| < — . <=1 2У )ш£ 3. я яг« (^^ )^^у== с? . 4 . * I / i ( y , « i ) — ji (у,иш) | < ! -1 - - - - - - - - - - - - . 2( SAf’ j U- 6,Уя 5. tny ,u)<Bi(y) для всех значений функции ям“ таких, что J |и |2 dx < Я, г= 1, 2..я, Д (у )— некоторая суммируемая функция вместе со своим квадратом, fix) —непрерывная функция на В и р,-, Лф, С)—константы. До к а з а т е л ь с т в о . Оператор G{u), правая часть урав­ нения (1), непрерывен и компактен в пространстве Гиль­ берта, согласно теорем (1) и (?) § 1. Далее, допустим, что существует решение ф(х) уравнения (2) ф(х) = Б р, JA, (х, у) ДО, ф) dy -|- f (х). i= I Рассмотрим замкнутую сферу s('}>, £)) с центром ф, радиуса £). Множество элементов этой сферы будет выпуклым и замк­ нутым в пространстве Гильберта. Расстояние между 0[и) и ф будет не больше D для любой функции и(х), удовлетво­ ряющей неравенству р (и, ф) < D. В самом деле Р![0(и),ф] =J{cp [х,$K1(x)y)fl(y,u)dy,... \Kn(x,y)fn(y,u)dy)- —ф Уdx = J [<Р(Х,Д (и),.. Ап(и)) - £ f i A t (ф) - /(* )]* dx ^ < П *Р (х> Л (и)»-• Ап (и))—<ро , Д(ф),... Д, (Ф))| -ь + |<р(х»Д (Ф),..Д (ф))—2р, Д(Ф) + / (х ) ]2Д < /=i < 2 J |<р(х, Д(н),.. Л„ (и)) - ср(х, Л, (ф),.. Лп(ф)) |’ dx 4- + 2J |qp (х,Л1(ф),.. Ап (ф))— 2рД(ф) — f{x)\l dx4Z f=1 « 2 J [БЖ,. IД («) - Л, (Ф)|]г dx + 2 f — dx = l J Ames В = 2 J |Б Ж| JА, (х, у) [ /, (у, н) — f t (у, ф)]dy]Vx + < 120