УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

Но J { j1Л, (. x,y)f, ( y,u ) dy — J K, (x,y) [3,'Ij -f st] dy\* dx ^ < I {Л Ki ( x,y ) ii f t(y,u ) - f t (v,ф) | dy -f- j | к, (x — - piФ— s, I</y}2a'x < 2 Jf {J IЛ1, (x,y) | | / i (y,n)—fi(y, <J>)| </y}a4- + { Л Л/ • (xjO || /, (у, Ф)—p{ф— St I dy\']dx ^ < 2 J {Уft? (x,v) dy j | ft (У,и) - /, (v, Ф)|*rfv + J ft? (x,y) rfyX X Л U (У, Ф)— PiФ— «/12rfy} dx=2^Hii ( x,y)dx dy • J [/, ( y,u)~ —fi (V. Ф)]2 dy -f 2J7 K* (x,y) dxdy • J [f, (v,ф) - &ф - dy ^ ’ < 2 ДОЛ*(*O0 dxdy . f(“~w ----------= 4 h ( liM !. 1 + Jr\ \K2i {xty)dxdy •——— —4 ------------ . 4я( SAfHJJ K\{x,y)dxdy Следовательно, P2 [0(«); ф] < EAfJ - £ —— = D2 i=j ' <=i " ,,, 1 ii Л42 i=l ‘ ИЛИ p! [0(и );ф ]« A то есть элементы замкнутой сферы пространства Гильберта переводятся оператором 0(и) в элементы той же сферы. По теореме Шаудера следует, что существует неподвиж­ ный элемент, который переходит сам в себя и =.0(и), причем и е s что и требовалось доказать. Те ор ема 10. Интегральное уравнение и(х) = <р[х, J f<l(x,y)fl (y,u)dy,... Jft;i {x,y)fn{y,u)dy\ (1) имеет решение, заключенное в сфере радиуса D простран­ ства Гильберта, вокруг решения уравнения ■К-*)= РгI А (*.у)Л ( у .Ф)4 у + / (х), г - 1 если выполняются следующие условия: ^