УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

«1 — щ i 2 ] / n [ £ ЛГ j’ 2• У j j K'*{x,y)dxdy 4 4 j K j ( x j / ) r f x t f y = / - J , / = 1 , 2 , . . . « . До к а з а т е л ь с т в о . Из условия 2 следует, что откуда X (J к* tfx + 1s2(y)‘a[y+ mesE). Следовательно, интегралы J f,(y,u)dy, i= 1, 2,...ra ограниче­ ны для любой ограниченной функции и(х). Поэтому на ос­ новании теоремы (1) и (3) § 1 можно утверждать, что опе­ ратор 0(«) компактен и непрерывен на ограниченном мно­ жестве пространства Гильберта. Пусть ф(х) есть решение уравнения Рассмотрим замкнутую сферу в пространстве Гиль­ берта, радиуса D с центром в ф. Множество элементов этой сферы будет множеством замкнутым и выпуклым. Для доказательства нашей теоремы достаточно будет доказать, что расстояние О(и) от функции будет не боль­ ше D, для любой функции „и“ такой, что - ^ydx = J { <р[х, j Н1(х,у) t\(V,u) dy,... j Кп(x,y)fn(v,u) dy] — — ? [x, I Kx{x,y) [pi dy... J Kn (xj/) [p„^ -f sn] dy f dx 4. Ф(■*) = <P[■*; I Kx ( Х’У ) [&Ф + Si] dy,- J Kn (х,У) [Рпф+ s„] dy. P (« , <J>)< D. Оценим квадрат этого расстояния П < 11 IJA, (х,у) /, (у,a) d\>-$ Hi (х, v) [Р,ф+ S/] dy \Чх < П п < Ш] -_E[J {J Ki (х,у) ft (у,и) dy — J Я, (х,у>) [ДО+ -f S j] tfy[2tfx].