УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

Докажем, что оно единственно. Имеем p 2 (0(«i); 0(и2)) = J [ф(-«, А \ — —ф (х, ААи*),..Ап (м 2)]2 Лс < J [Е ^ ,(«2)|]гЛс < 4=1 < S f [ A(hi) - A (« 2)]V* ,< УМ] • Z f {jK,(*,y)[/<G'»«i)- 4=1 ;=i ;=1 i=l — fi{y,u2)]dy\2dx ч< S Я К\(х,у) dxdy . J[/i(y,«,)— i=l i'=l —М.У.иЛ’Ф'СЕМ ,2 • S£,S(p*(Mi, «,) 4=1 i= l или р [ 0 (н,); 0 (и2)] < др(и,.м2), где <7 < 1 и не зависит от выбора функций „ и t“ и „и2“. На основании теоремы Каччио- поли —Банаха 1 заключаем об единственности решения. Т е о р е м а 8 . Существует непрерывная функция и(х), принадлежащая сфере 5 = 11«| < К } в пространстве ЯС“, являющаяся решением уравнения (1) и притом единствен­ ная, если выполняются условия: 1 . j ' k](x,y)dy <Вс , 5,—константа, г '= 1 , 2 ,..я. 2. |/j(y>Hi) —ft (y,ih )I < ^ !«!— it,| для всех функций „ и x“ и яг/,“, принадлежащих 3. МНу>и)4у<Ог 4. | ф (х , Zi,z2,.,zn) ф(Xj, z 1>z^,...z'n)\<С.М0\х Xj| -)— + £Mi\Zi—zi'\ i=i для всех функций zt и г[, принадлежащих 5. Cy+WtB^iCK. i=i 6. \ть&Ь • Е B'iLi— <7<Д • i=i Согласно теоремы ( 6 ) решение уравнения (1) существует. Это решение будет единственным. Журн. „Успехи матем. наук". Вып. I, стр. 146. 116