УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

В самом деле, семейство непрерывных функций яв­ ляется выпуклым и замкнутым в пространстве (С). Согласно теоремы (2) оператор О (к) переводит элементы простран­ ства „С" в элементы того же пространства. Далее Р(я)1=1Ф(*.Л,(и),.А,(«)1 «|ф(х,о,..о)| + ЕМ/ |Д,(»)Г* < /=i < Ci+ZMMKtix^Uiyrtdy^ « С ,+ ’ п + £ Ml I{ $КХх,у) dy\'!> . { Я /I Cv,«)]ffl[y[V*| аК< Q + z—l п + Т-ЩBfiDfi < К или |0 (« ) |< /< , т. е. семейство функций S = j |м| Д }Пе­ реводится оператором О (и) в свою часть. Согласно теоремы Шаудера, при таком преобразовании существует неподвиж­ ный элемент к= 0 (« ) . Те ор ема 7. Интегральное уравнение (1) допускает решение в сфере $u -dx^ К [ в пространстве Гиль­ берта и притом единственное, если выполняются следую­ щие условия: Я ^/2 (Х’У) dy = Ln Я—Я2 у.п), L — константа. 2- \1?{y>u)dy<C.Cl,(i=\,2,..ri), Q—константа. 3. | ф ( х , Zj, Z 2 ,..Zn) — ф (Xj, Z j, z 2, z n)| ^ TWq \x Xi[ -f- + fj*i\Zi—Z'l 4. я AO'. »i) —ft (y, u2)fdy < B\l (ttj— u2y dx, i = 1,2,.Л. Для всех функций «, z,-, z',, и,, «2—принадлежащих сфере 5. (1+ S /И*) [ J (х, о..о) dx + ZLfiA < /С. i=i /=i 6. s уи ,?. ь /=1 /—I Согласно теоремы (5) решение уравнения (1) существует. 8* 115