УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

5. (1 + s Щ {JY(x, о,..о) dx + I) (CtL,y» (mesE)'^‘\<K. f=1 г-1 Для доказательства рассмотрим семейство функций | и ^ измеримых по Лебегу и таких, что \u2dx<K. Это семей­ ство будет замкнутым и выпуклым в пространстве Гиль­ берта. Далее, согласно теоремы (1) и (3) оператор 0 ( h ) — компактен и непрерывен в сфере S = j J и* dx < К } про­ странства Гильберта и переводит элементы этой сферы в ее часть. Действительно 102(н) dx — J-ф*(•*> A l(u),...An(u)) dx •< < J f| ф (x, 0 .. 0 )I+ S My |.4, (»)!-/]* d x < ( \ ;+ 4—1 + s Af)) {J f (x, O.. 0 ) rf* -I- S f И,(и)]2агЛ} < (1 + i=i i=i + £ Mj) {J f (x, 0.. 0) dx + 2 (C, Li)a\mes E)x - я ‘}< /С. f=i f=i Согласно теоремы Шаудера1 при таком преобразовании существует неподвижный элемент и—О (и), что и требо­ валось доказать. Те о р ема 6. Существует непрерывная функция и (х), принадлежащая сфере 5 = ||н|></С[ в пространстве „С“, являющаяся решением уравнения (1) при условиях: 1. lK\{x,y)dy <С.В\, [i— 1,2,..я), 5,—константа. 2. I f t С у , Hj)— f t{y, и,) I N< I , |вх— в2|, (г = 1,2,..»), Z.(— кон- станта. 3. $fi2(y,u)dy<.D* для всех и е5, Z),—константа. 4. |ф(х, zu z2,..zn) —ф | <М0\х —х*Г* -f П для всех zt и г/, принадлежащих S. /=1 где К—константа, Cj>|'Ji(x,o,.,o)|. 1 Журн. „Успехи матем. наук". Вып. I, стр. 1SG. 114