УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

Рассмотрим разность \0(и)—0(u)h\= |<|>(*,А1(м),,..Д/г(й))— — ty(x + h, Аг(и)ь,... Ап(и)н\ М^А^и)— At (u),.lv= = М0\/, |“0+ If [Kt{x + h,y) - К1 (Х , у ) }Му, и) dy |а* < 1=1 ч< А/0|Л|’о+ 2Л*,[ J К (У, и) dy]a t/>[J [Ki(x -f- h,y) — - f<M,y)Ydy]ail*. * В силу того, что функции Ki{x,y) удовлетворяют уело- виям (1) и (2) теоремы, следует, что можно найти такое число 8.(s), что^5 [Ki{x + h,y) - Kt (x,y)YJy\a' !< * - при |А|<8,. Поэтому | О (и)— 0(u)h | < s , если |A (< S ( s ) , где 8 (е) — Min — t!*l —, M0(n+i) eV«О Mn( n+ l )D nan 2. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ (1) На основании рассмотренных свойств оператора О(и) можно высказать некоторые теоремы существования реше­ ния уравнения (1). Те ор ема 5. Интегральное уравнение (1) имеет реше­ ние, заключенное в сфере S = u2dx < К | в пространстве Гильберта, если выполняются условия: 1. JJ К[2(х,у) dx dy —L,, (i = 1,2,..я); Lt — константа. 2. j \ (xji) < Ci(x), где Ct— некоторая суммируемая функ- ци я для всех функций ,,u“ е S. 3. Ji(x,u) — непрерывная функция относительно пере­ менного г= 1,2,..га. 4 . |ф (л г , г х , г 2, . . г„ ) — >' j ( x u z ' u z ' , . . г ' ) | ч< М л \ х - х х \ ^ + + ЕМ, zL — z \[ai (где о < аг< 1). 8 Ученые записки, у И З