УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

Т е о р ем а 4. Оператор О(и) компактен по отношению к семейству непрерывных функций 5={|и| < л:1, если вы­ полняются следующие условия: 1. Ki(x,y) —непрерывная функция относительно пере­ менного х еЕ , (г = 1,2,..га). 2. Для любого хеЕ, К*(х ,уХВ:(у), i =1 ,2 , ..л В((у)— суммируемая функция. 3. U2i(y,u)dy < D2lt i — 1,2,..га, £>,— константа. 4. [ф(дг, Zi, — ^(xu z[,z:„. z!,)] < M0\x-x, \°o + п -f-E M^ i— z't\ai, o < 1 для всех непрерывных функций 2 Г/,гг/ и „ии— принадлежащих сфере S. До к а з а т е л ь с т в о . Согласно известной теоремы Ар- цела, семейство функций |0 (и ) | будет компактным, если а) оно ограничено в своей совокупности, т. е. существует такое число /V, что |0(ra)|<7V для любой функции О (к) данного семейства; в) для любого сколь угодно малого числа е>0 и для любой функции семейства |0(и)} суще­ ствует такое число о(е), что [О (и) — 0(u)h | < г при |Л|<8. Из условия (4) теоремы следует, что семейство | 0 ( н ) | есть семейство непрерывных функций относительно х. Далее, это семейство ограничено в своей совокупности. Действительно, [О (и)] = [ф {х, А, (га),.. Ап{и)\ < [ф (х, о,., о)] + Е М, [А,(и)] а‘= = ф (X, О,..о) + Е Mi [f к](Х,у) dy]« i/a • [J f(y,U) dy] K^ = = ф(x, o,..o) -f- EZ>aiL°' Mi полагая L*, = JK2, {x,y)dy. i=i Правая часть последнего неравенства не зависит от выбора функции „га", на основании чего и заключаем об ограниченности семейства |0(ы) | в его совокупности. Ос­ тается показать, что семейство (и)} равностепенно не­ прерывно. 112