УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

для каждой из функций совокупности* соответствующие операторы Д (иу). (1) A M , Aiittt), Л^й,),... A^iij) ..... (2) Л2(и,), А 2(иг), А,(и3),... Л,(м/),.... (к) Ак(щ), A k [ u 2), A k (.ия),... Ак(и}),... ( п ) Ля(«!), Л„(н2), Ап(и3),.. A„(uj),... Каждый из операторов Ак(и), (к = 1,2,..и) компактен на семействе S = |я(х)}*. Поэтому из бесконечного множества (1) можно выделить сходящуюся последовательность. Пусть это будет (1 ) A^U k J, Но последовательности функций nKi, иКг,... будет отвечать последовательность (2') Л,(иЖ1), Л2(и«2),... Аг(иКп)„... из множеств (2). Из этого множества (21) в силу компактности оператора Л%(и) можно выделить сходящуюся последовательность: (2") A-lUeX А2(ие2),...Аг(иеп),.... Очевидно, последовательность Л1(ив1), Л,(йг2),... Л,(цг/1),... будет сходящейся, так как она есть часть последователь­ ности (I'). Продолжая этог способ рассуждения, далее по­ лучим, что последовательности 1 At(u м), Л,(н,*„),.... 2 Л2(Н[д.]), Л2( й [J-o)»••• Л2(И|».я),««« Я Лл(я^), Лл(йр2),.«. Лл(Я(1,л),... будут сходящимися, но тогда в силу непрерывности опера­ тора 0(и) будет сходиться и последовательность <1>[*1'41(0|»1)>Л2(и(1)),...Л„(и(А1)],...ф[х,А1(ыр.2),Л1(я^),...Л„(«1л3)],..., что и доказывает теорему. * В. В. Немы цк ий, Указ. работа. 111