УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

О (и) - О (и„)| = Iф(л:,Л, (и ),.. Ап (и)) -ф (х, А, (и„),...Л„(иJ | < < £ М'\А((и)—А((иа) \ - ч II Ki(x,y) [/i(y,u)—f t(y, и,,)] dy\ а«< <£jM,| [I K\(x,y) dy]a i's • [J f/i (y,«) — fi(y, «.)]■ tfy ] “i /2 I< < E ад * » [Я / ,(j/,») - /,. (_y, «„)]2rfv]«i/i. 1=1 На основании приведенной леммы Немыцкого, можно •указать такое число/V,(г), что: {j [h{y, и) —Л(з/>ил)]*с?у[в<А< <С-----—— для всех n >N t, i = 1,2,...я. Поэтому 10 (и)— — 0(ип) < е, если /г > Л/ = /иал{Д/,, Д... что и доказы­ вает теорему. Условимся теперь оператор О (и) называть компактным относительно некоторого множества „М“ функционального пространства L , если он преобразует это множество „М“ в множество компактное. Те ор ема 3. Оператор О (и) является компактным от­ носительно семейства функций 5={а(л:)| пространства Гильберта, если: !• HK' t (r ,y)dxdy = L*i, i=l,2,...n, Lt- константа. 2. Supf^y, и) <iDi(y), г = 1,2,...я, Д (у) —суммируемая функция. 3. fi{y,u) —непрерывная функция для всех „и“. 4. ; ф (X, ZL, Z2(. .. Z„) — ф (XL, z[, Z'n) | < M0 j X - *,|*o -f- — z[ |*i; o < | a . 1=1 Для всех функций „и“, „ 2 /“, „г;“, (i = 1,2...я) —принад­ лежащих семейству До к а з а т е л ь с т в о . Семейство функций \0(а)\ назы­ вается компактным, если из каждого его бесконечного подсемейства можно выделить сходящуюся последователь­ ность функций. Возьмем какое-нибудь бесконечное множество функций {Д(«), 0 2(и),..0д(и),... } из семейства {0(и)|, |ие5]. Этому множеству соответствует некоторая совокупность функций uL(x), иг{х),..и„[х),... из семейства 5. Далее выпишем 110 I