УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

Оценим квадрат расстояния между элементами 0{и) и 0{ипу Р г\0{и)\0(ип)} = \ [0 (u )— 0(ur))tdx = \[^{x,A1(u),...An(u))— -^{x ,Ai{un),... i4n(»n))],r f * « J ,’| Л1,|Д,(я)— . i =-1 — At («„) |«i Xdx < V пMt 2 S f[Ai(u ) -A i(un)]2aidx= J 1=1 i=i = E Mi 2 E№ i C*dO[ЛО.и) — /,(y , «„)] 4y}2a«/x < * (=1 1=1 < E M,2S n i l K\{x,y)dy \ai\\[fi{y>u)— ti {v,un)ydyY'\dx< i=i /=1 E M\ S \ЦК\{х, y) dx dy\*1- \l[ft[y,u)— —М у . un)Ydy\ai. Так как lim j [ / , (y,u) — МУ>ип)Уdy — 0, если lim J (u — — un)*dx = 0*, to lim ^[0(u) — 0(tin)ydx = 0, что и тре­ бовалось доказать. Теор ема 2. Оператс; О (и) непрерывен в сфере S = = || и < к | пространства , вномерной сходимости (,,С“) при условиях: 1. Для любого хеЕ, J К2, ,y)dy = B2„ i=\ ,2, . .n 2- J*i(y,u) < Cj(y), С{(у) суммируемая функция для всех. ueS. 3. f t {у,и) —непрерывная функция относительно аргу­ мента „н“. 4. |ф(х, 2 г1>г„...г„) —ф(х1, < ЛГ0 \х— + Е Aff|2r(— z[\<4) для всех 0 , и г'„ принадлежащих 5, 0 < а ;< 1 . Пусть ии и2>... ип,... последовательность непрерывных функ­ ций равномерно сходящаяся к функции и(лз). Покажем, что последовательность 0{их), О («,),... О сходится равномерно к О (и). Для этого рассмотрим разность * Лемма В. В. Немыцкого. См. Математич. сб., т. 41, вып, 3, 1934, 109