УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

где под знаком J— понимается интегрирование по множе­ ству Е— ограниченной меры, „пя— мерного евклидового пространства, под „х“ и „уа понимаются точки этого про­ странства. Применением метода В. В. Немыцкого доказаны теоремы существования и единственности решения уравнения (1) в пространстве BZ,2“ и в пространстве „С"— непрерывных ■функций при выполнении ряда условий. Во второй части работы доказаны теоремы о существо­ вании решений в целом (нелокальные теоремы). § 1 1. НЕКОТОРЫЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ Условимся правую часть интегрального уравнения (1) рассматривать как некоторый оператор О (и), приложенный к функции и (л) 0(a) ~ ф [х, J Кк(х, у)/, (у, и) dy, . . .) Кп ( х,у)/„ (у,и) dy]. Будем этот оператор О'.а) называть непрерывным в функ­ циональном пространстве L2, если из сходимости последо­ вательности «j, и9,.. ип,... элементов этого пространства к и (х) следует сходимость последовательности О («]), О («Д..., к О (и). Те ор ема 1. Оператор О (и) = ф [х, А1(и),.., Ап («)1> где At (и) = J Ki(x,y)fi(y,u) dy непрерывен в пространстве Гиль­ берта на семействе функций .S— если выполняются следующие условия: 1- Я k*i(x,y) dxdy = L\, I ,— константы, i=],2,...n. 2. Sup 1*i(y,u(y)XD(y) , D (у) — суммируемая функция. 3. / (у , и)— непрерывная функция для всех значений „м“. 4. \y(x,zt,zt,..Zn)— y(x„z{, z'tt...t'n) \<M 0\x— x l\'h+ П + 1, Mi \zi—z'l |а», о < ^ < 1 для всех функций „и", „z,“, „г{т != 1 принадлежащих семейству .S’. В самом деле, пусть мх, иг,... ип,... последовательность функций, сходящаяся к функции и ( х), то есть lim С (а — ипу dx— 0. л -* Оо 1С8