УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

Доцент В. М. ГУШИНА, кандидат физико-математических наук * ОБ ОДНОМ КЛАССЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ. УРАВНЕНИЙ Нелинейные интегральные уравнения вида и (х)= J к (х ,у) t [У 1 и (у)] dy с симметрическим ядром изучались Гаммерштейном, Игли- шем, Лерей, Каччиополи. Тот же класс уравнений в случае несимметричного- ядра исследован В. В. Немыцким методом неподвижной точки. В основу этого метода положены теоремы функцио­ нального анализа Шаудера о существовании неподвижной точки при непрерывном преобразовании замкнутого, выпук­ лого множества линейного, нормированного пространства в его компактную часть и теорема Каччиополи о един­ ственности неподвижной точки. Тем же методом В. В. Немыцкий исследовал уравнения вида: ? (х) = XJ к [х, у, <р(j/)] dy при малых „X.*. При помощи метода В. В. Немыцкого другими авторами (Смирнов, Дубровский) доказаны теоремы существования и единственности решения для некоторых классов нелиней­ ных интегральных уравнений. В настоящей работе рассматривается вопрос о суще­ ствовании и единственности решения общего класса нелк- нейных интегральных уравнений И (х)=ф S [х, i Кх(х,у) АС У, U(y))dy, . . . , J Кп (х ,у) /пу, и (y)fifyj, (1) 107