УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 5

s ( ^~~2 ) > Т V 1— c2(^i) + V ~ I — сЧ х г) = \ \ s ( * i ) + S ( x , ) что и требовалось доказать. Заметим, что при извлечении корней в предыдущих выкладках мы должны были ограничиваться их положи­ тельными значениями, так как s (x )>0 на интервале (0,2 р). В силу нечетности функции s(x) она должна быть по доказанному выпукла на интервале (—2/?,0); по свойству периодичности функция s(x) поочередно вогнута и выпук­ ла на интервалах (2кр, 2(к + \)р) ,и = 0, ± 1»± 2,.... Соответствующие утверждения для функции с(х) полу­ чаются по любой из формул приведения, например, с(х) = = 5(лг-f-/?); отсюда и из предыдущих результатов вытекает, что функция с(х) вогнута на интервале (—р,р) и выпукла на интервале (—3 р ,—р)\ в силу своей периодичности она поочередно вогнута и выпукла на интервалах ((2 к — — \ )р, (2к+\ )р) , к = 0, + 1, + 2,.... т. е. В заключение покажем, что функции s(x), с(х) и 1(х) совпадают с известными тригонометрическими функциями sin х, cos я и tgx, которые определяются как длины соот­ ветствующих линий в единичном круге (см. рис. 3). 105