Вопросы преподавания математики в школе и вузе. Вып 1. 1971г.

- 219 " положением секущей Д _ , ^ , в предположении,что точка Д . ос­ таётся на месте ? Предельным положением сек уий окажется каса­ тельная к кривой в точке Д . . Естественно поставить теперь цель осуществить переход оф формулй (2 ) к такой формуле,которая будет выявлять эту новую идею - проведение касательной. Введём обозначения: ос^-ос^., жл:х1к) Формула (2 ) примет вид: ^ У(х*.) бСл,- Л а: л. А Пределом отношения _____________ ^ при буде* значение производной в точке с абсциссой о с .Таким обр а зом .в .з- никнет новая формула для вычисления очередного приближения: тЛ* ~ (ПРИ (3 ) Если исходить из некоторого начального приближения обо к корню и применить эту формулу для н * о -/, 2 - . , то,очевидно,получим последовательность приближений а ’, , . . . . . Поэтому форму­ ла (3 ) даёт новый алгоритм уточнения корня. Целесообразно дать полученному методу самостоятельную гео­ метрическую иллюстрацию. Пусть точка Д н^ кривой соответству­ ет выбранному начальному приближению 0Со • Через точку Д про­ ведём касательную. Точка пересечения этой касательной о осью ОХ будет являться следующим приближением к корню. (Значе­ ние этого приближения легло получить и геометрически,рассматри­ вая прямоугольный треугольник Д > с1-оос< : отсюда & -1 ‘- с ' " ц У ’ р(*~) (в полном совпадении с формулой (3 ) 3* : ССо "* Т ^ ч )