УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. 1970.

- 72 - TEUPlMA 5. для того чтооы функция т : 2 ~ * Х ( X ~ слабо секвенциально полное банахово пространство ) Зила вполне конечно аДдитивна, необходимо и достаточно, чтоЗы вы­ полнялось одно из двух условий: 1 ) для всякого Л 'с X функция - вполне конечно адди­ тивна i t 2 ) для всякого X е Х функция / / * ' / - впилне конечно адди­ тивна. ' ' Доказательство следует непосредственно из определений и того факта, что если j / : Ц-+Х~ регулярная векторная мера, то ре­ гулярными Зудут и lyf^j для всех Х ' е Х ' . TEOPEiA 6 . Пусть X - слабо секвенциально полное бана­ хово пространство и у*- 5 7 - * Х •-•ограниченная аддитивная функция. Существует такой функционал x i ^ X ’ * что >>•» ( f ) — О hv lfcbo ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть у * - ■£(&>) . Существует такой функционал * ' е Х \ что Сом. [ ь ] ) . Если J S сужение j / на 2» , то , очевидно, E € S ’ {71 \Л ’Ье )-*о , s'* Так как для Е ^ уу \(Е)~ то соотношение (7 ) полностью доказывает теорему. ЗАМЕЧАНИЕ. Если _Х не является слабо секвенциально пол­ ный, то утверждение теоремы 6 может оказаться неверным; Золее того, может вообще не существовать неотрицательной аддитивной функции J\ такой, что вариация её конечна и €*1*1 - О Ар+О ПРИМЕР. Пусть X “ пространство ограниченных последо­ вательностей действительных чисел с нормой ЬирП*; ! }, $ > * { ах , аг , ■■ $ , S ’ - алгебра, порож­ денная конечными подмножествами из & . Функцию ы : 2 ? X