УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. 1970.

- 71 - будут лишь О и I , чю = 1 . о', > ^1( о существо­ вании такой функции см. [ 5 J , т е о р .4 .1 ). Положим, . ПустЬ - скалярная счётно аддитивная функция на 2 7 так ая, что Jb(F) / £ \™(е) j > B ^ S . Очевидно для всякого E * Z , не содержащего Если Зы п({£\)* О , то /н((<?, i ] ) j > 0 , что проти­ воречит условию М е ) ! , ибо *>1(0, i j ) * >” {(о,%)) 1- = 0 Итак, функция у» такова, что для любой скалярной счёт­ но аддитивной функции И , удовлетворяющей условию- ' |и (£г)| £ j»» (Е ) | , Е & S , инеем. п - О вместе о тем, очевидно, h i не является вполне конечно ад д и т в н о й . Нижеследующая теорема показывает, что вышеприведенное определение вполне конечно аддитивной функции для случ ая,ко г­ да функция неотрицательна, Эквивалентно определению вполне конечно аддитивной функции, данному в [ 5 ] . ТЕОРЕМ* 4 . Дзп того чтобы неотрицательная ограниченная аддитивная функция Уп , эаданная на S , была вполне ко­ нечно аддитивной, необходимо и достаточно, чтобы для всякой меры П такой, что 0 * * ( е ) * уп ( е ;) , f e S . Выполнялось равенство b( E } ~0 J Е * 2 . . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО» Необходимость этого утверждения была уотановлена ранее (теор.З).Докажем достаточность.Иусть разложение М на счётно аддитивную ( т г ) , и вполне ког ' нечно аддитивную функции. Очевидно >*, и -н е о тр и ц а те л ь ­ ные и, следовательно, О - >пг (Е) * tn (E ), £ e g . Тогда, пО условию, —О , т .е .- вполне конечно аддитивна. ‘ Если )п ; ' S -* X . и J * =• f(h t) у то чере_з условимся обозначать такую скалярную функцию на 5? .что а через j y ' x ’ j ~ вариацию функции .