УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. 1970.

- 70 - ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По определению, но ограничена,следо­ вательно, из (4 ) заключаем, что П также ограничена.Пусть J* = / И , } = .ДЛЯВСЯКОГО Е С ггвительно, если бы для некоторого Е € £ Ц а ^ Н И й Ц, w т о , ввиду регуляр"ости и 9 , нашлось бы такое биком- пактное бэровское множество Л , что Всякое бикомпактное бэдовское множество есть &g—множество. Следовательно, F - 7 [ G „ , где убывающая последова­ тельность открытых в S', множеств. Как выше указывалось,мож­ но считать, что - открыто-замкнуты. Если &м€ £ , И = #, г , . . . , то h N 1 * * г И г -!1 ' l / t y - 1’ M l -■ Следовательно, в случае допущения ( 5 ) , для достаточно боль­ ших номеров „ , I K M I < I M ^ I > что противоречит условию. 1так, S . ^ (6 ) Пусть Л ^-и зм ерим ая оболочка яножеотва S .Ясли бэров­ ское множество Е содержится я , то из определения впол­ не конечной аддитивности легко заключаем, что jufE)~0\ в таком случае из условия (6 ) имеем: 3 ( £ ) = 0 . Вели же 2 и ~)(Е) = 0 ( т е о р . 1 ) . ’ Следовательно, для всех бэровских в S , множеств £ Значит, ц ( Е ) = 0 , Е €Т1- ЗАМЕЧАНИЕ. Утверждение обратное к теореме 3 неверно. ПРИМЕР. Пусть S z ( 0 (] у I S - измеримые по Лебегу подмно­ жества (O .lJ • для Е * 2 положим, / j _ J - f , если е Е ' ~ С если Ч г * £ и такая аддитив’<ая функция на 57 , значениямикотор