УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. 1970.

- 69 доказательство . лпу ст ь измеримая оЗолочка множества 5 ( т . е . А - такое Зэровское множе­ ство , содержащее S , что для всякого Зэровского множества В С Л ' S имеем: у / (3)=- О ). ^ Полож. м у г [ Е ) г J ' f E f i J f ) , Е € £ ; у * , = у * -у * г . Обозначим >” <; = i ( J ' i ' l ) i Z *' г • -Непосредственно из определения видно, что н , - вполне конечно аддитивна;счёт- ная аддитивность 1го? следует из теоремы I . Ксли £Г«2;’,то У», (Е) Г мг (е) =у , ( г Е ) * у<г ( ТЕ ) f ) ' Отсюда: г - Уп. Таким образом,требуемое разложение построено.Докажем един* ственность разложения. Пусть Уп = fr>t *■ т г г J, 1 - Эг два разложения для т , где f y j f y - вполне конечно аддитивны, а ^ - счётно аддитивны. Возьмем произвольное Е £ £ , такое , что E A S f p ^ и обозначим у ( - ■{(” ,) , 9 - 'г /(*>,) , о =/ г . Ввиду счётной аддитивности >«г ? />г (£) - О ( т е о р .1 ). Поэтому Аналогично получаем: , если Е & Z Г I ЕЛ S =0 • Пусть Л? такое Зэровское множеству, что и для всякого 6 е £ 6 е S ( V H имеем: у , (£>)- ),(в>) ~ О (существование f l следует из вполне конечной.аддитивности > V, ).Ёсли, тв'перь Е произвольное Зэровское множество в S , , то S , Р --- f t № » ) у * \ E n ( S ^ M j] »^ , но (еам)п S ~ 0 , следовательно, как выше показано, I f * * ) . г Р ' Ф J = ^ • Итак, у * / - ' ) # » отсюда у г - . Следовательно, >nt -h f } Упг - пг Этим окончательно установлена единственность раз­ ложения. ТК'ОРйМА 3. Пусть У» : S X ( }С - слабо секвен­ циально полное банахово'пространство) вполне конечно аддитив­ ная функция и п: S - X такая счётно аддитивная функция, ЧТО Ц п № 1 * И £)11 > £ е £ . & Тогда h (Е) = 0 для всякого Е ^ S