УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. 1970.

- 67 - Ч = <■ S Л > - Ке (5) h - / г , . . . . значит S € / T f h СЛ Сн / Ы 9 ' ' * чего не иоежт быть, ибо " £ * ~ Множества Т £ И > л 1 /,гг „ , открыто-замкнуты в 5 ”, и, следовательно, бэровские.В таком случае из ( I ) и (2 ) имеем; Так как ы ( е н) , » г < г ,. .. , то <£*, m ( £ - J * 0 , что и доказывает счетную аддитивность (см . [2 J , с т р .2 0 ). НЕОБХОДИМОСТЬ. Предположим, что для некоторого £ € Е с S , ^ S имеем: ^ ( f j * £? .Ввиду регулярности J -С , существует такое бикомпактное бэровское множество F c . £ , что J u ( F ) tO . Всякое бикомпактное бэровское множество является G-g- — множеством (см . [2 ] , стр . 295 ) , поэтому существует убывающая последовательность открытых е S , множеств 2 ^ таких, что Д 1&в ~ Р . Так как 5 , вполнеразрывно, то мож­ но считать , *то Сгщ - открыто-замкнуты* Пусть G h = Т G„ ,» > '/ , 2 , . . . .Тогда G-h - убывающая последовательность множеств из S ’ с_пустым пересечением, для которой, &*vf » * ( G J : & что противоречит счётной аддитивности уп на £ (см . [ Z ] , с т р .IB ). Полученное противоречие доказывает т в о р е ц . ♦ Естественно встает вопрос: нельзя ли в.условиях теоремы I . бэровокие множества заменить на борилевские? ;Точнее говоря, пусть ул: S ’ - * Х Ограниченная аддитивная функция , J t ? 4(»>) и J * ~ регулярная борелевская мера, являющаяся продолжением ^ (существование и единственность установлена в работе [6 ] , т о о р .5 ). Можно ли утверждать, что Уп счетно аддитивна тогда и только тогд а, когда J * ( e ) - 0 д л я всякого борелевского множества £ в S , , не пересекающегося о S .Следующий при­ зе р яокавывает, что этого нельзя делать. * ) Последнее равенство легко следует из определения S и того факта, что всякий элемент Я в1- .можно рассматривать как аддитивную функцию на 2 (см, [ l j , Д У .8 .1 6 ), вариация которой, ввиду мультипликативности J , (равна единице.