УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. 1970.

- 65 - Обозначим через Ь М банахово пространство, со­ стоящее из всех равномерных пределов конечных линейных комбинаций характеристических функций и е> Е * г ). На­ помни-, что в таком случае S f состоит из ненулевых диней~\ ных мультипликативных функционалов на в ( д S ) . а С £■= ■J € $ i ) < Д > г /$ (см .д оказател ьств о теорЛУ . 6 18 в [ I ] ) . Пусть отображение 'f- $ -* таково, что для всех £ с S <• Ш , l e > - l s (■» ■ Тогда f взаимно-однозначное отббражение (см . » 1У .6 .1 9 ). ^ ^ > Положим S * l i b ) , s € /3 J. В дальнейшем символом X будем обозначать произвольное слабо секвенциально полное банахово пространство, т . е , такоа банахово пространство, что всякая фундаментальная в слабой топологии ( т .е . в 6~ (Х , X ) - топологии)*^ пространства X последовательность элементов из X является сходящейся. йСЛИ *»} ■' 2 - Х - адди-явная функция множества, то ей соответствует единственная аддитивная функция h i,: определенная равенством т ^ т £ ) ~ /м^Г/.Функция n>f , регулярна на 2 / , следовательно, Mt - счетно аддитивна на £ ( ( с и .[б ] , теор.З).Предположим, что jl>^(£)jl - М для всех £ € 2 1 • В таком случае векторную меру, уп^ ^ ^ можно продолжать единственным образом н а / б'-кильцо, порож­ денное 2 , (см. [ 7 ] .следствие т е о р .5 .1 ). Легко в и д н о ,д т о по­ лученное S'-кольцо (которое будем обозначать через 2 ) совпадает с S'-алгеброй бэровских подмножеств множества S f . Сл-едовательно,продолжение меры W, есть бэровская мера и, о X ' пространство, сопряженное к х .