Ученые записки математических кафедр вып. 1970 г.

-1 4 7 - Тогда С? _ нормальная подгруппа групп» С ^ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если а е Г , то так как отображение ~*'1хг длч любого X есть автоморфизм группы С и так как на С истинна формула (Ухи,.Хк.)[ ьг(х1>.,.1хь. га.)=<] то на С истинна и следующая формула С У X , ,,, х*.)[',иг(х< Хп. Х'1Л Х ) = Л значит, для любого X ¿ '«*6 . ' ' •, С иг Докажем, что если a f e C " , то aJb € С Доказательство проведем индукцией по п. . Если /Г-/ , то (У*,)[[*,& <]' (Vx,)[[2,J],i] >, тогда очевидно, что (Vx.)[[x,,ai]4] и ( V * . ) [ [ X , . Пусть утверждение верно для h,<t , докажем для *=£ . Так как W _ линейный относительно ХЛи коммутатор, без Пов­ торений, то в hr есть единственная компонента вида [ Х , „ , Y(Xi)J или [ V ( x i ) t ± я„ ] , ГДе C ( v 1х4с(х, ..... (Имеется в виду, что W представлен как элемент множества W из определения 7). Очевидно, можно считать, что C(v(Xij)~fx „ Хл] , где O i p s n - i . L Луст-ь . - хонмутртор, получающийся из заменой компоненты [X, tt, VfxJJ (или [V(Xi)t X n.J ) на Я /»«/ Тогда Хр„ ) По индуктивному предположению теорема для hr' верна. Так как для любых V р>< I • •' / •^'П- ( V x , ,,.xF) [ w ' ( x , ....... Z/>j a гт(х,)]) = i ] и f Vz,... Xr>)[ Xp>[<8, V(zi)])=l] истинны на группе U , то по индуктивному предположениюи по ранее доказанному I