Ученые записки математических кафедр вып. 1970 г.

- а л о - Далее, найдутся такие # / , . . . , 4 ^ е Н , что а) Ч в ) каждый элемент из Н равен одному из А , значит ¿* , . . . , 4 » , все различные элементы группы Н и отображение У’ : Л -— ^ есть гомоморфизм группы <7 на группу Н, а так как = / / / / , то У- - изоморфизм группы (7 на группу Н . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Пусть £? - некоторая группа, А - подмножест­ во множества элементов группы С . Через Жу (&,А) будем обозначать подмножество множества 31 (С, А ) , состоящее из формул вида 0 - г й , а г , , „ ( ? л Vх , где Vх г I / ма = •/ . Вместо ЗС у{в ,Ф ) , будем писать Ж у ( С ) Через (77, /4) обозначим подмножество множества Ж(С,А), состоящее из всех формул вида Ф ° о , х , у ж а ^ = 1 . Вместо ( 7 Ф), будем писать Ж ( С ) . ТЕОРЕМА 3 . Если С - конечная группа и Жу (С !)-3 £ у (н ) < то Н - конечная группа и ¡С / ~ / Н / . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть / £ / = * , Ф ^ 3 х 1...2 л. У у [ У * 1 =у ] Ф * Х у ( С ) ^ ( Н ) , значит, / Я / ^ / С / . Аналогично получим, что щ т и, следовательно, /£ /- //7 / . ТЕОРЕМА 4. Ж^ ( Л С « ) = П ( С ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. I ) Так как для каждого /3 € 1 существует гомоморфизм группы 77 С * на группу <7% ,' то • * ( Я < У с я у с у для всех А и, в частности, (Ц ^ ) с ( $ ) . значит, ^ (7 7 £ * ) С Д ТАЛ (7 7 .,) 2) Пусть ф СыЛ Л Л((7л) , Ф £ 0 , X, . . . 0 „ 2 ^ Vх, У * Л Щ - 1 , где цЛ, , слова от .Жу,