Ученые записки математических кафедр вып. 1970 г.

-ж е - Пусть С - произвольная группа, А - некоторое подмножество 'множества элементов группы С . ч ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Множество всех закрытых позитивных формул сиг­ натуры с константами из А, истинных на группе С называ­ ется позитивной теорией группы С с константами из А. Позитивную теорию группы С с константами из А будем обо­ значать ('О, А) . Если А - пустое множество, то. будем говорить о позитивной теории без констант' или просто о позитивной теории и в этом случае будем вместо Л ( С г Ф) писать Л (С) . ■ Очевидно, что Л ( С ,А)С Т(С,А) •, поэтому получаем из теоремы I. СЛЕДСТВИЕ. Если С*, и Ср приведенно свободные группы бесконечных рангов ( »с и /3 соответственно) некоторого много­ образия I V , то при сС £ р л(с+,с. Отсюда, в частности, следует, что ЗГ (С< ) = !Г С (С ,) . Ю.И. Мерзляков [ I ] показал, что если / ч и - абсолютно свободные группы рангов / г и т . соответственно и то Я ( Г т , Г ъ ) = Я ( Г п , Г п ) я, в частности, Щ Г ^ Ж К ) . Как показывает следующий пример, существуют конечно опреде­ ленные группы, не являющиеся свободными, позитивные теории кото­ рых совпадают о позитивной теорией группы ^ а значит и с позитивной теорией любой абсолютно свободной неабелевой группы / ч ( * Ы>) • Нетрудно показать, что позитивная формула, истинная на данной группе, истинна и на всех ее гомоморфных; образах. Значит,