Ученые записки математических кафедр вып. 1970 г.

- < 7 4 - Причем при каждом ¿= 1 а число можно сократить, а именно: отбросить те . за исключением , т .е . для .Г = О, для которых . 2 . Рассмотрим теперь случай, когда (Хг ............. Х„ ) и ( ур> . . . , Ул ) являются свободными подгруппами группы АЖ В Интерес представляет частное решение этой проблемы для слу­ чая п =г. Пусть = <Х ,У>, Нз = <Р, (}>, причем Т. (Нт ) = г (Н2 ) = 2. ТЕОРЕИА 2. Пусть (Х ,У ), <РЛ ) - свободные подгруппы ранга 2 группы А Же В, А = < <7 ; О ? >. В = < 8 ; 6 ? ) ; если существует такое £ € > что ? < х у > г = ( р $ ) г то к х у х у ) ! = (р < з р ё )±1 Пусть (X , У>, <р, - свободные подгруппы ранга 2 груп­ пы А * В. Предположим, что в А Ж: В существует такой эле­ мент 2 е Л * В , что 2 (Х ,У )2 = (Р А ). . Так как эти подгруппы свободные, то свободные образу­ ющие подгруппы Х<ХУ>2: ¿хг , 2У1 будут свободными образующий свободной подгруппы<Р, <3), и, наоборот, свобод­ ные образующие подгруппы<Р, $> будут свободными образу­ ющий« 2(1, У>£ * Но поскольку все свободные образующие подгруппы <Р., в) могут быть получены из свободных образующих Р, й с помощью автоизрф.измов подгруппы (Р, £>, то существует автоморфизм £ подгруппы <Р,оХ который дает отображе,- ние: ? : 2X2 —Р , У 2У2-Я . Тогда^соглаоно теореме Нилюена# 2 ( ХУХУ )2 - Т (РС)Р$) ■Т , ГМ Т 6 < Р , 0> И т е 2<Л , I