Ученые записки математических кафедр вып. 1970 г.

- 1 чч- ДОКАБАТЕЛЬСГВО. Пусть V , ■ Сг = ■ £ ; С = С По предыдущей теореме, группа С вкладывается в разрешимую ступени £+4 группу Т * { к , ь ; г ; Ч г г , = г , т , к е к ) . Автоморфизм ^ ' С й £ модно расширить до автоморфизма всей группы Т-р X •' /с — У'г ( к ) , к е К , : £, — . В самом деле, % ( *,~Ч %) = ¿ / ' ^ / ¿ X * V, ( У %( к ) ) - = > г ( % (Ю ) . Применяя теорему I к группе и автоморфизму 'У* подучаем влонение группы в группу Ъ - { к , * . А ; ь г М г Ш < Н * Ш . Легко видеть, что любой элемент А 6 7^ модно представить в вВДе •, [ А , А ] * к * к , м т г ^, откуда следует, что Т разрешима ступени £+1 Продолжая аналогичные рассуждения, на к. -том шаге получим вложение группы К в разрешимую ступени 1 + 1 группу т* = { к , *•„ \ и ; £ [ 'к и = у ¡ . ( к ) , а е к , А Н к , = } . Рассмотрим, наконец,' группу Т* { К , ^ ; 1 £кЬ ± *Х ( к ) , К - подгруппа группы Г, так как если бы какое-либо отношение, связывающее элементы группы КГ, не вытекало бы из определяющих соотношений группы ГС, т о оно выполнялось бы после конечного числа шагов, т . е . в некоторой группе Т* ? что', однако, не имеет мевТа . Очевидно*,' что [ Т } ~Г] С К * т .е . Т - разрешима ступени £ + 1 , Если, наконец, приравнять все элементы из К единице, то легко видеть,' что элементы порождают в группе Т свободнуо абелеву группу. Теорема доказана.