Ученые записки математических кафедр вып. 1970 г.

- < 3 9 - для того, чтобы разрешимая алгебра Ли А имела ортогональ­ ным дополнением снова алгебру Ли L необходимо и достаточно, чтоб» в некотором базисе пространства матрица ее общего аффинора имела вид /Э /, причем некоторые числа Л i ( ¿ = 4 2 , . . . , г) могут быть равны нулю, а Числа, соответствуищие различным квадрата*, могут быть связаны линейными зависимостями. В частности, если алгебра А совпадает со своим ортогональ­ ным дополнением, то она является своей Т си ст ем ой . Но ~ система имеет строение, уже рассмотренное выше1, и матрица ее общего аффинора приводится к виду / 3 / . Соверненно очевидно, что если квадраты неодномерны.то ра­ венства взаимно ортогональных квадратов I и И или П и 1У типов быть не может. Значит, квадраты О ^ м о г у т быть только одномерными. Таким образом, ядро алгебры А - это полная нуль-алгеб­ ра, относительно которой все. ступени одномерные. Лпбопытно заметить, что совпадение алгебры А и ее орто­ гонального дополнения возможно только в том алучаеу когда п, - четное. Разремимая алгебра Ли А совпадает со своим ортогональ­ ным дополнением тогда и только тогда, если в некотором базисе пространства матрица ее общего аффинора приводится к виду н <v К ' 0 * я Где * обозначена матрица полной нуль-алгебры, относительно которой все ступени - одномерные; П. - четное и выполняется уело, вие • , Л4 = 0 .