УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

г. ъ. 3 Чертеж 50. — . о о ^ функция возрастает от — до оо. Покажем, что данная функция на промежутках возрастания и убывания строго монотонна, т. е. из х2^> Х\ следует либо f ( x 2) > f ( x ,) л и б о /(х 3) < / ( л : 1), для любых двух значений аргумента этих промежутков. Пусть JC! < аг 2< — — . Покажем, что / ( х 2) < / ( х , ) . т. е., что *2 Ч-х2 -Ь 1 Х^ “I-Х\ или х\— х\+ х2— х, < 0, или (х2~- х,) (х2+ *i + 1 ) < !• 1 Так как x2> x t, то х2— х, > 0 , а х2< — — и х\< — — , значит, 1^4-х, < — 1 и х2+ хх+ 1> 0, откуда неравенство (х2— х х) (x2+ x t + 1)<С0 верно для любых x t < .x 2<i — — , следователь- 1 ( - » ; - у ) HO, f ( x 2) < / C * i) , Т. е. функция на — монотонно убывающая. Совершенно аналогич­ но доказывается, что данная функция на б) у монотонно возрастающая (черт. 51), 5 / 1 \г 5 мак­ симальное равно “ при х = — . Значит, функция возрастает от— оо до— ; Чертеж 51. / 1 \ 5 ( — ; оо ) у — убывает от— до — оо. (Исследование монотонности аналогично V 2 / 4 а на предыдущему примеру). 7* 99